TL; DR (要約)
行列によるデータの「変換」は、元に戻せるのか？
その鍵を握るのが、変換を打ち消す「逆行列」と、その存在を判定する「行列式」です。
① 逆行列 (Inverse Matrix)
(変換の「解毒剤」)
元の行列による変換を、完全に打ち消して「元に戻す」働きを持つ特別な行列。連立方程式を解く際などに役立ちます。
② 行列式 (Determinant)
(元に戻せるかの判定指標)
行列による変換が、空間をどれだけ「拡大・縮小」させるかを示す数値。面積や体積の変化率と解釈できます。
③ 重要な関係
(逆行列の存在条件)
行列式が0でない場合のみ、逆行列は存在します。行列式が0のとき、空間は「押しつぶされ」、情報を失うため元に戻せません。
この章の学習目標と前提知識
これまでの講座で、行列がデータに作用し、別のデータへ「変換」する強力なツールであることを学びました。ここで自然に湧き上がる疑問は、「一度変換したデータを、元に戻すことはできるのか？」ということです。
もし、ある行列による変換を打ち消し、完全に元通りにする操作が存在するなら、それは様々な問題解決の鍵となりそうです。
今回の講座では、この「変換を元に戻す」というアイデアの中心にある逆行列 (Inverse Matrix) と、そもそも「元に戻せる変換」なのかどうかを判定する指標である行列式 (Determinant) という、密接に関連した2つの概念について探求していきます。
1. 逆行列 (Inverse Matrix) — 変換を打ち消す「解毒剤」
逆行列とは、その名の通り、ある行列が行った変換を「元に戻す」効果を持つ行列のことです。
行列 \(A\) があるとき、その逆行列は \(A^{-1}\) と表記されます。この \(A^{-1}\) は、元の行列 \(A\) と掛け合わせると、変換を「無効化」する特殊な行列、単位行列 (Identity Matrix) \(I\) になるという性質を持ちます。
単位行列 \(I\) とは？
単位行列は、行列の世界における数字の「1」のような存在です。対角線上の要素がすべて1で、それ以外はすべて0である正方行列（行と列の数が同じ行列）を指します。どんな行列も、単位行列を掛けても全く変化しません。つまり、「何もしない変換」を意味します。
\[ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \quad \text{や} \quad I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \]
逆行列の最も重要な性質は、以下の式で表されます。
\[ A A^{-1} = A^{-1} A = I \]
これは、あるデータに変換 \(A\) を施した直後に、逆の変換 \(A^{-1}\) を施せば、結局「何もしなかった」のと同じ状態（単位行列 \(I\) を掛けたのと同じ状態）に戻る、ということを意味します。まさに、毒（変換）を中和する「解毒剤」のような存在ですね。
この性質は、連立一次方程式を解く際に強力なツールとなります。\(Ax = b\) という式（\(A\) と \(b\) が既知）で未知の \(x\) を求めたい場合、両辺に左から \(A^{-1}\) を掛けることで、
\[ A^{-1} A x = A^{-1} b \]
\[ I x = A^{-1} b \]
\[ x = A^{-1} b \]
となり、簡単に解を求めることができます。
2. 行列式 (Determinant) — 変換による「面積・体積の変化率」
では、どんな行列にも必ず逆行列（解毒剤）は存在するのでしょうか？答えは「No」です。そして、その「逆行列が存在するか否か」を判定するための重要な指標が、行列式です。
行列式は、ある正方行列から計算される一つの数値（スカラー）です。行列Aの行列式は、det(A) や \(|A|\) と表記されます。
行列式の本質は、幾何学的なイメージで捉えると非常に分かりやすいです。それは、行列が引き起こす変換によって、図形の「面積」や「体積」がどれだけ変化したか（何倍になったか）を示す値なのです。
det(A) = 2なら、変換によって面積は2倍に拡大されます。det(A) = 0.5なら、面積は半分の大きさに縮小されます。det(A) = -1なら、面積は変わらず、図形の向きだけが鏡写しのように反転します。
最も重要なケース：行列式が0のとき
det(A) = 0 となるのは、一体どんな時でしょうか。
これは、変換によって元の空間が「押しつぶされ」、次元が失われてしまったことを意味します。例えば、2次元平面上の正方形が、変換によって一本の線や一点に潰されてしまうような状況です。面積は0になります。
一度ぺしゃんこに潰れてしまった情報を、元通りに復元することはできません。一本の線から、元の正方形がどんな形だったかを復元するのは不可能ですよね。
このことから、以下の非常に重要な関係が導かれます。
「ある行列の逆行列が存在するための条件は、その行列の行列式が0でないことである」
行列式は、その変換が「可逆的」か「不可逆的」かを見分けるための、リトマス試験紙のような役割を果たすのです。
3. AIにおける意味合いとPythonでの計算
深層学習のような現代的なAI技術では、巨大な行列の逆行列を直接計算することは、計算コストが高すぎるため稀です。しかし、これらの概念はAIモデルの「健全性」を理解する上で不可欠です。
行列式が0に近い行列は「悪条件 (ill-conditioned)」であると言われ、モデルの学習が不安定になる原因となります。これは、モデルが学習の過程で、入力データが持つ情報を「押しつぶして」失ってしまうような、冗長または矛盾した特徴を学習してしまったことを示唆します。
それでは、NumPyを使って逆行列と行列式を実際に計算してみましょう。
# NumPyの線形代数(linear algebra)モジュールをインポートします
import numpy as np
from numpy.linalg import inv, det
# 2x2の正方行列を定義します
A = np.array([
[2, 1],
[4, 3]
])
# 1. 行列式の計算
det_A = det(A)
print(f"--- 行列式 det(A) ---")
# 2*3 - 1*4 = 2 となるはずです
print(det_A)
# 行列式が0ではないので、この行列には逆行列が存在することがわかります。
print("\n")
# 2. 逆行列の計算
inv_A = inv(A)
print(f"--- 逆行列 A^-1 ---")
print(inv_A)
print("\n")
# 3. 検算：AとA^-1を掛けると単位行列Iになるか確認
# @ は行列の積を計算する演算子です
identity_matrix = A @ inv_A
print(f"--- 検算 A × A^-1 ---")
# コンピュータの浮動小数点計算による微小な誤差を含む場合があります
print(identity_matrix)
# 見やすくするために、非常に小さい値を0に丸めて表示
print("\n丸めた結果:")
print(np.round(identity_matrix))
▼上記コードの実行結果
--- 行列式 det(A) ---
2.0000000000000004
--- 逆行列 A^-1 ---
[[ 1.5 -0.5]
[-2. 1. ]]
--- 検算 A × A^-1 ---
[[1.00000000e+00 0.00000000e+00]
[4.44089210e-16 1.00000000e+00]]
丸めた結果:
[[1. 0.]
[0. 1.]]
まとめ：変換の可逆性と安定性
- 逆行列 \(A^{-1}\) は、行列\(A\)による変換を元に戻す「逆の変換」です。
- 行列式
det(A)は、変換によって面積や体積が何倍になるかを示す指標です。 det(A) ≠ 0の場合にのみ、逆行列は存在し、その変換は「可逆」であると言えます。
これらの概念は、ある操作が元に戻せるかどうか、そしてAIモデルの学習プロセスが数値的に安定しているかどうかを評価するための、理論的な背骨となります。
次回は、行列のさらに深い性質を明らかにする「0.2.4: 固有値と固有ベクトル」について学びます。これは、データの本質的な「軸」を見つけ出す強力な手法に繋がります。
参考文献
- Strang G. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press; 2016. Chapter 5.
- Goodfellow I, Bengio Y, Courville A. Deep Learning. Cambridge, MA: MIT Press; 2016. Chapter 2.
- Deisenroth MP, Faisal AA, Ong CS. Mathematics for Machine Learning. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2020. Chapter 4.
- Bishop CM. Pattern Recognition and Machine Learning. New York: Springer; 2006. Appendix C.
- Poole D. Linear Algebra: A Modern Introduction. 4th ed. Cengage Learning; 2014. Chapter 3.
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