[Math for Medical AI: M2.2] 行列の基本的な演算 — データを組み合わせ、変換する技術

TL; DR (要約)

この章の学習目標と前提知識

前回の講座では、AIがデータを「かたち」として認識するための基本単位、スカラー、ベクトル、そして行列について学びました。行列が、患者さんのデータセットや医療画像といった、まとまった情報を格納する「器」であることを理解しましたね。

今回は、その「器」に入れたデータに対して、私たちが何ができるのかを探っていきます。線形代数における行列の演算は、データ同士を比較したり、組み合わせたり、あるいは全く新しい意味を持つデータに「変換」したりするための、強力な「動詞」の役割を果たします。

ここでは、その中でも特に基本的で重要な3つの演算、「和・差」「積」「転置」について、そのルールと医療分野での応用イメージを解説します。

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1. 行列の和と差 — データセット同士の比較

行列の足し算と引き算は、最も直感的に理解できる演算です。

• ルール: 2つの行列の形状（行数と列数が完全に同じ）が一致している場合にのみ、計算が可能です。計算は、それぞれの行列の同じ位置にある要素同士を足したり引いたりするだけです。
• イメージ: 2つの同じフォーマットのデータセットを重ね合わせ、各項目の差分や合計を見るような操作です。

医療での応用例

• 経時的変化の抽出: ある患者さんの今年の検査結果を行列\(A\)、去年の検査結果を行列\(B\)とします。\(A - B\) を計算すれば、この1年間でどの検査値がどれだけ変化したのかを示す「変化量行列」が瞬時に得られます。
• 画像差分抽出: 2枚の脳MRI画像（行列）があり、その差分を計算することで、腫瘍の増大や縮小、あるいは新たな病変の出現といった変化があった部分だけを強調して抽出できます。これは「差分画像」として、診断支援に役立ちます。

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2. 行列の積 — 最も重要で、最も強力な「変換」

行列の掛け算は、少し特殊なルールを持ちますが、AIや深層学習において最も重要と言っても過言ではない演算です。これは、単なる要素同士の掛け算ではありません。

• ルール: 行列\(A\)と行列\(B\)を掛けて \(A \times B\) を計算するには、「\(A\)の列数と\(B\)の行数が一致している」必要があります。この条件を満たさないと、計算はできません。
• イメージ: 片方の行列（例：入力データ）を、もう片方の行列（例：重み・変換ルール）を使って、新たな特徴を持つデータに「変換（マッピング）」する操作です。

医療での応用例

行列の積は、ニューラルネットワークの計算そのものです。入力された患者データ（行列）に、ネットワークが学習した「重み」（行列）を掛けることで、中間的な特徴量が計算されます。この行列の積を何層にもわたって繰り返すことで、AIは元のデータからは想像もつかないような複雑なパターンを抽出し、最終的な診断予測へと繋げていきます。入力データを「変換」し続けることで、より本質的な情報を取り出しているのです。

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3. 行列の転置 — 行と列の視点を「ひっくり返す」

行列の積という、少し頭を使う演算の後は、もう少し肩の力を抜いてみましょう。ここで紹介する転置 (Transpose) は、操作自体は非常にシンプルですが、AIの実装では驚くほど頻繁に登場する、名脇役のような存在です。

転置とは、一言でいえば、行列の行と列を丸ごと入れ替える操作のこと。行列\(A\)の転置は、右肩にTを付けて \(A^T\) と表記します。

百聞は一見に如かず、です。具体的な行列でその動きを見てみましょう。

【図の解説】

この図が転置の全てを表しています。

1. 対角線は動かない: 左上から右下へ貫く「対角線上」の要素（この例では①と⑤）は、位置が変わりません。ここが回転の「軸」になります。
2. 行が列に、列が行に:
   • 行列Aの1行目 [①, ②, ③] は、転置行列 \(A^T\) の1列目になっています。
   • 行列Aの1列目 [①, ④] は、転置行列 \(A^T\) の1行目になっています。

このように、全ての行と列がきれいに入れ替わっているのが分かりますね。結果として、元の行列の形状が \(m \times n\)（m行n列）だった場合、転置行列の形状は \(n \times m\)（n行m列）に変わります。

これはまさに、皆さんが普段お使いのExcelで「形式を選択して貼り付け」の中から「行/列の入れ替え」オプションを使ったときと、全く同じことが起きています。患者さんを行に、検査項目を列に並べていた表を、ボタン一つで検査項目を行に、患者さんを列にした表に作り替える、あのイメージです。

なぜ「転置」が必要なのか？

では、なぜわざわざこんな「ひっくり返す」だけの操作が必要なのでしょうか？それ単体で新しい医学的知見が生まれるわけではありません。その真価は、行列の積を「つなぐ」ための、縁の下の力持ちとしての役割にあります。

思い出してみてください。行列の積を計算するには、「前の行列の列数と、後ろの行列の行数が一致する」という厳しいルールがありました。このルールを満たせないと、計算はエラーになってしまいます。

例えば、ある患者データ行列 \(X\) の形状が (100, 50) で、AIモデルの重み行列 \(W\) の形状が (20, 50) だったとします。このままでは、\(X\) の列数(50)と \(W\) の行数(20)が違うため、積 \(X \times W\) は計算できません。

しかし、ここで転置が活躍します。\(W\) を転置して \(W^T\) を作ると、その形状は (50, 20) に変わります。すると、\(X\) の列数(50)と \(W^T\) の行数(50)が見事に一致し、\(X \times W^T\) という積が計算可能になるのです。

このように、転置は計算の「つじつま合わせ」をするための、地味ながら不可欠なテクニックなのです。AIの論文などで数式に \(A^T\) という記号が出てきたら、「ああ、これは後の計算のために、行列の形を整えているんだな」と考えると、式の意図がぐっと読み解きやすくなるはずです。

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Python (NumPy)での実践

これらの基本的な演算を、NumPyを使ってコードで確認してみましょう。

import numpy as np

# --- 準備：2つの同じ形状の行列を作成 ---
# 2人の患者の[LDL, 血糖値]データ（2024年版と2025年版）
matrix_2024 = np.array([[140, 99], [165, 110]])
matrix_2025 = np.array([[135, 105], [150, 115]])

# --- 1. 行列の和と差 ---
# 和：各要素が足される
sum_matrix = matrix_2024 + matrix_2025
# 差：各要素が引かれる（変化量を計算）
diff_matrix = matrix_2025 - matrix_2024

print("--- 和と差 ---")
print(f"2年間の合計値:\n{sum_matrix}\n")
print(f"1年間の変化量:\n{diff_matrix}\n")


# --- 2. 行列の積 ---
# 2行2列の行列Aと、2行3列の行列Bを作成
# Aの列数(2)とBの行数(2)が一致しているので、積 AB は計算可能
matrix_a = np.array([[1, 2], [3, 4]])      # (2, 2)
matrix_b = np.array([[5, 6, 7], [8, 9, 10]]) # (2, 3)

# 行列積は @ 演算子（またはnp.dot()）を使う
product_matrix = matrix_a @ matrix_b

print("--- 行列の積 ---")
print(f"行列A (2,2):\n{matrix_a}\n")
print(f"行列B (2,3):\n{matrix_b}\n")
print(f"積 AB の結果 (2,3):\n{product_matrix}\n")


# --- 3. 行列の転置 ---
# 2行3列の行列Bを転置する
transposed_b = matrix_b.T

print("--- 行列の転置 ---")
print(f"元の行列B (2,3):\n{matrix_b}\n")
print(f"転置行列B^T (3,2):\n{transposed_b}")

▼上記コードの実行結果

--- 和と差 ---
2年間の合計値:
[[275 204]
 [315 225]]

1年間の変化量:
[[ -5   6]
 [-15   5]]

--- 行列の積 ---
行列A (2,2):
[[1 2]
 [3 4]]

行列B (2,3):
[[ 5  6  7]
 [ 8  9 10]]

積 AB の結果 (2,3):
[[21 24 27]
 [47 54 61]]

--- 行列の転置 ---
元の行列B (2,3):
[[ 5  6  7]
 [ 8  9 10]]

転置行列B^T (3,2):
[[ 5  8]
 [ 6  9]
 [ 7 10]]

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まとめ：演算はデータに意味を与える「アクション」

今回は、線形代数の基本的な「動詞」である3つの演算を学びました。

• 和・差: 同じ形のデータセットを比較し、変化を抽出する。
• 積: データを別の意味空間に変換し、特徴を抽出する。AIの計算の心臓部。
• 転置: データの視点を入れ替え、計算のための形状を整える。

これらの演算を組み合わせることで、AIは入力されただけの「静的なデータ」に様々なアクションを起こし、そこに潜むパターンや意味を引き出していきます。特に、行列の積のルール（形状の制約）を理解することは、今後の学習において非常に重要です。

次回は、これまた重要な概念である「0.2.3: 逆行列と行列式」について探っていきます。

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参考文献

1. Strang G. Introduction to Linear Algebra. 5th ed. Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press; 2016. Chapter 2.
2. Goodfellow I, Bengio Y, Courville A. Deep Learning. Cambridge, MA: MIT Press; 2016. Chapter 2.
3. Deisenroth MP, Faisal AA, Ong CS. Mathematics for Machine Learning. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2020. Chapter 2.
4. Bishop CM. Pattern Recognition and Machine Learning. New York: Springer; 2006. Appendix C.
5. Poole D. Linear Algebra: A Modern Introduction. 4th ed. Cengage Learning; 2014.

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