AIを支える数学「線形代数」の基本は、スカラー・ベクトル・行列という3つのデータの「かたち」を理解することから始まります。これらが何を表し、どう違うのかを直感的なイメージで掴みましょう。
大きさだけを持つ単一の数値です。「体温: 37.5℃」のように、それ自体で完結する最小のデータ単位で、AIが扱う情報の「レンガ」にあたります。
複数の数値を順序よく並べたリストです。「[年齢, 身長, 体重]」のように、1つの対象に関する多面的な情報をまとめた「プロフィール」を表現します。
ベクトルをさらに集め、縦横に並べた表形式のデータです。患者名簿やレントゲン画像のように、複数の対象の情報を一度に扱う「データセット」そのものです。
| この章の学習目標 | 前提となる知識 |
|---|---|
| スカラー、ベクトル、行列の定義とそれぞれの違いを説明できる。 各データ形式が医療現場（患者情報、画像など）でどう使われるか具体例を理解する。 AIがデータを数学的な「形」として扱うことの重要性を理解する。 | AIとデータの基本的な関係 AIがデータを基に学習することを知っていれば十分です。 身の回りのデータ表現 Excelの表やリストなど、基本的なデータ整理のイメージがあれば大丈夫です。 |
AIを支える数学の中核、線形代数の世界へようこそ。この分野は、AIがどのようにして複雑なデータを「かたち」として認識し、処理するのかを理解するための基礎となります。まるで粘土で作品を作る前に、基本的な形（球、棒、板）を知る必要があるように、AIもデータを扱うための基本的な「型」を持っています。
それが、スカラー、ベクトル、行列の3つです。
今回の講座では、これら3つのデータ形式がそれぞれ何を表し、どのように異なり、そして医療データの世界でいかに活用されているのかを、直感的なイメージと共に解き明かしていきます。
1. 点としての情報「スカラー」
最もシンプルで、最も基本的なデータの単位がスカラー (Scalar) です。これは、単一の数値を意味します。
- 定義: 大きさのみを持ち、方向を持たない量。0次元のデータ。
- イメージ: 地図上の「標高」や、温度計の「一つの目盛り」のような、単独で完結する値。
医療現場では、日々スカラーデータに触れています。
- ある瞬間の患者の体温:
37.5 - 特定の検査項目一つの結果: 血中ナトリウム濃度
140(mEq/L) - AI創薬における分子の結合エネルギー:
-9.8(kcal/mol)
スカラーは、それ自体が文脈を持つというよりは、後述するベクトルや行列を構成するための、最小の「レンガ」のような存在です。
2. プロファイルとしての情報「ベクトル」
ベクトル (Vector) は、複数のスカラーを特定の順序で並べたリストです。1次元のデータ配列と考えることができます。
- 定義: 大きさと「向き」を持つ量。複数の要素がひとまとまりになった、1次元のデータ。
- イメージ: ある対象の「プロファイル」や「状態」。各要素は、その対象の異なる側面を表します。
ベクトルは、単一の対象に関する多面的な情報を表現するのに最適です。
- 医療における例:
- 一人の患者さんの基本情報:
[年齢, 身長, 体重, 収縮期血圧]というベクトルは、[58, 171, 65, 128]のように表現でき、これ全体で一人の患者さんを表します。各数値の「順序」が重要で、1番目は必ず年齢、2番目は身長…というルールがあります。 - 一個のピクセルの色情報: カラー画像の一つのピクセルは、
[赤の強度, 緑の強度, 青の強度]という3つの数値を持つベクトル（例:[210, 180, 170]）で表現されます。 - 一個の単語の意味: 近年の自然言語処理では、単語の意味を数百次元のベクトルとして表現します（単語埋め込み）。
- 一人の患者さんの基本情報:
重要なのは、ベクトルが多次元空間における「一点」または「矢印」として解釈できることです。これにより、患者Aと患者Bの「状態の近さ」を、ベクトル間の距離として数値的に評価することが可能になります。
3. データセットとしての情報「行列」
行列 (Matrix) は、それらのベクトルをさらに複数集め、縦横に整然と並べた2次元の表です。
- 定義: 数値を長方形に配置した、2次元のデータ。ベクトルの集まり。
- イメージ: 患者名簿やExcelシートのような、複数の対象（行）と複数の特徴（列）から成るデータセット全体。
行列は、複数の対象のプロファイル（ベクトル）を一度に表現するのに非常に強力なツールです。
- 医療における例:
- 臨床試験の患者コホート: 100人の被験者（行）それぞれについて、50項目の臨床データ（列）を記録した場合、それは
100 × 50の行列となります。この行列一つで、試験全体のデータセットを表すことができます。 - モノクロ医用画像: 512×512ピクセルのX線写真は、各ピクセルの輝度値（スカラー）を並べた
512 × 512の行列そのものです。 - 複数患者の時系列データ: 10人の患者の心電図データをそれぞれ1000時点分記録した場合、
10 × 1000の行列として、全患者の心電図の推移をまとめて扱うことができます。
- 臨床試験の患者コホート: 100人の被験者（行）それぞれについて、50項目の臨床データ（列）を記録した場合、それは
これら3つの関係は、スカラー < ベクトル < 行列 という階層構造になっていると理解すると分かりやすいでしょう。
| データ構造 | 次元 | 説明 | 医療での例 |
|---|---|---|---|
| スカラー | 0次元 | 単一の数値 | 38.5 (体温) |
| ベクトル | 1次元 | 数値の順序付きリスト | [58, 171, 65] (一人の患者情報) |
| 行列 | 2次元 | 数値の表 (ベクトルの集まり) | 患者100人分のデータ、レントゲン画像 |
まとめ：データ表現の基本単位を理解する
今回は、線形代数の探検における最初のステップとして、3つの基本的なデータ構造を学びました。
- スカラー: 一つの値（例：ある検査値）。
- ベクトル: 関連する値のリスト（例：一人の患者の全データ）。
- 行列: ベクトルの集まり（例：患者集団の全データ、一枚の画像）。
AIがデータを「処理」するとは、これらのスカラー、ベクトル、行列に対して数学的な操作（演算）を加えることに他なりません。まずは、AIが扱うデータの「形」をしっかりと理解することが、その先の複雑なアルゴリズムを読み解くための揺るぎない土台となります。
次回は、これらの行列に対して具体的にどのような計算ができるのか、「0.2.2: 行列の基本的な演算」について学んでいきます。
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