医療現場の不確実性と向き合うため、ギャンブルから生まれた「確率論」の基本を学びます。未来を予測する3つの神器「確率変数」「確率分布」「期待値」の概念を理解し、偶然を科学的に扱う第一歩を踏み出しましょう。
まだ結果が決まっていない事象（サイコロの目、患者の体温など）の数値を一時的に入れておくための「箱」です。
種類: 🔢離散型 (整数など数えられる値) と 📏連続型 (身長など途切れない値) があります。
確率変数の「箱」に入る各結果が、どれくらいの確率で起こるかを示したルールブック（設計図）です。
例: 公平なサイコロなら、1〜6の目が出る確率は全て同じ1/6。このルール全体が確率分布です。
ある事象を何度も繰り返したとき、結果が平均してどの値になるかを示す予測値です。
計算式: Σ{(各結果) × (その確率)}。治療法の効果比較など、客観的な意思決定に役立ちます。
医療の現場は、常に「不確実性」との戦いだと思いませんか？「この患者さんの症状は、本当に典型的な疾患によるものだろうか？」「この新しい治療法は、目の前の患者さんにどれくらい効果があるんだろう？」「この検査結果が陽性だったけど、本当に病気だと言い切れるのか？」…。私たちは日々、100%確実な答えがない中で、最善の意思決定を下すことを求められています。
これまでは、そうした不確実性に対して、個人の「経験」や「勘」を頼りに立ち向かってきました。もちろん、それらは非常に価値のあるものです。しかし、もし、この捉えどころのない「偶然」や「不確実性」というものを、客観的な「数字」で捉え、もっと賢く付き合う方法があるとしたら…？
実は、そのための強力なツールが、今から300年以上も前に生まれました。面白いことに、その起源は崇高な科学研究ではなく、なんと「ギャンブルの勝ち方」に関する、あるフランスの貴族の悩みだったと言われています。その悩みに答える形で、天才数学者ブレーズ・パスカルとピエール・ド・フェルマーが交わした手紙のやり取り、そこから「確率論（Probability Theory）」という学問の基礎が築かれました（Hacking, 1975）。
今日は、この「偶然」を科学するための学問、確率論の世界へ足を踏み入れてみましょう。一見すると難しそうな数式が出てくるかもしれませんが、大丈夫です。その根底にある考え方は、私たちの日常感覚に非常に近い、とても面白いものなんです。
確率論の3種の神器①：確率変数 ― “未来の結果”を入れる魔法の箱
確率論の世界を冒険するために、まず手に入れたい最初の神器が「確率変数（Random Variable）」です。名前だけ聞くと少し難しそうですが、これは単なる「箱」だと考えてみてください。
どんな箱かというと、「まだ結果は決まっていないけれど、これから起こる何かの結果（数値）を入れるための箱」です。
例えば、サイコロを一つ振る、という行為を考えてみましょう。振る前は、どの目が出るか分かりませんよね？でも、「1から6のどれかの数字が出る」ということは分かっています。このとき、確率変数というのは、「サイコロを振ったときに出る目」という結果を、とりあえず入れておくためのプレースホルダー、つまり「箱」の役割を果たすのです。
医療の現場に置き換えてみると、確率変数の「箱」は至る所にあります。
- 「次に来院する患者さんの体温」を入れる箱
- 「ある新薬を100人に投与したとき、効果があった人数」を入れる箱
- 「今日の救急外来の受診者数」を入れる箱
これらは全て、実際に事が起こるまで具体的な数値は分かりませんが、どんな値を取りうるかを事前に考えることができます。この「結果を入れるための箱」を数学的に扱うための概念が、確率変数なんです。
離散型と連続型：箱の中身はどんな数字？
この確率変数の箱、実は中に入れられる数字の性質によって、大きく2種類に分けられます。
① 離散確率変数 (Discrete Random Variable)
サイコロの目のように、「1, 2, 3…」と、とびとびの値しか取らないものです。数えられるもの、と言い換えてもいいかもしれません。「外来患者の人数」や「副作用が出た人数」などがこれにあたります。小数点はなく、5.5人といった値は取りませんよね。
② 連続確率変数 (Continuous Random Variable)
身長や体重、血圧のように、理論上はどんな細かい値でも取りうるものです。例えば、血圧が120.1 mmHgでも、120.11 mmHgでもありえます。このように、値が連続的につながっているものが連続確率変数です。検査値の多くは、こちらに分類されることが多いですね。
この2つの区別は、後で出てくる「確率分布」の形を考える上でとても重要になるので、「数えられるもの」と「連続的なもの」というイメージだけ、頭の片隅に置いておいてください。
確率論の3種の神器②：確率分布 ― “結果の出やすさ”を示す設計図
さて、結果を入れる「箱（確率変数）」は手に入れました。でも、ただの箱だけでは、次に何が起こるかを予測するには力不足です。サイコロの例で言えば、そのサイコロが普通のサイコロなのか、それとも特定の目が出やすいイカサマのサイコロなのか、知りたいですよね？
そこで登場するのが、2つ目の神器「確率分布（Probability Distribution）」です。これは、先ほどの確率変数の箱に、「それぞれの結果が、どれくらいの確率で入るか」という情報を示した「設計図」や「取扱説明書」のようなものです。
例えば、イカサマのない公平なサイコロの「設計図」は、次のようになります。
【サイコロの確率分布（設計図）】
この表が、サイコロという確率的な現象の全てを記述しています。全ての可能性をリストアップし、それぞれの確率が示され、確率の合計は必ず1（100%）になります。これが確率分布の基本です。
医療の例で考えてみましょう。ある疾患の有病率が10%だとします。無作為に選んだ一人の人がその疾患を持っているかどうかを確率変数（持っていれば1, 持っていなければ0）で考えると、その「設計図」は以下のようになります。
- 結果が「1 (疾患あり)」になる確率：0.1 (10%)
- 結果が「0 (疾患なし)」になる確率：0.9 (90%)
このように、確率分布は不確実な現象の「本体」や「構造」を明らかにしてくれる、非常にパワフルな地図なんです。
確率論の3種の神器③：期待値 ― “平均的にどうなるか”を示す未来予測
「箱（確率変数）」と「設計図（確率分布）」が揃いました。最後の神器は、これらを使って未来を予測するためのツール、「期待値（Expected Value）」です。
期待値とは、一言でいえば「その試行をものすごくたくさん繰り返したときに、得られる結果の平均値」のことです。くじ引きの例が分かりやすいかもしれません。「このくじは、平均すると一回あたりいくら儲かる（あるいは損する）んだろう？」という、まさにその「期待できる値」が期待値です。
期待値はどうやって計算するの？
期待値は、「設計図（確率分布）」があれば、簡単な計算で求められます。計算式は以下の通りです。
\[ E(X) = \sum_{i} x_i P(X=x_i) \]
一見すると難しそうですが、分解してみれば簡単です。
- \( E(X) \): 確率変数Xの期待値（Expected Value）のこと。
- \( x_i \): 確率変数が取りうる、それぞれの結果（サイコロなら1, 2, …, 6）。
- \( P(X=x_i) \): その結果 \( x_i \) が起こる確率（サイコロなら全て1/6）。
- \( \sum \): これは「全部足し合わせなさい」という記号（シグマ）です。
要するに、期待値は「（結果）×（その確率）」というペアを、全ての可能性について計算し、最後にそれらを全部足し合わせたもの、なんです。
先ほどの公平なサイコロで、実際に計算してみましょう。
\[ E(X) = (1 \times \frac{1}{6}) + (2 \times \frac{1}{6}) + (3 \times \frac{1}{6}) + (4 \times \frac{1}{6}) + (5 \times \frac{1}{6}) + (6 \times \frac{1}{6}) \]
\[ E(X) = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = \frac{21}{6} = 3.5 \]
面白いことに、期待値は3.5となりました。サイコロには3.5の目はありませんが、これは「もしサイコロを何千回、何万回と振り続けたら、出る目の平均は限りなく3.5に近づいていく」ということを意味しています。これが期待値の力です。
この考え方は、治療効果の評価などにも応用できます。例えば、ある治療法Aについて、以下のようなデータ（確率分布）があったとします。
- 80%の確率で、症状が10ポイント改善する。
- 20%の確率で、症状は全く改善しない（0ポイント）。
この治療Aの期待値は、
\[ E(\text{治療A}) = (10 \text{ポイント} \times 0.8) + (0 \text{ポイント} \times 0.2) = 8 + 0 = 8 \text{ポイント} \]
と計算できます。これは、この治療を多くの人に施した場合、「平均して一人あたり8ポイントの改善が見込める」と解釈できます。複数の治療法を比較検討する際に、こうした期待値という客観的な指標が、私たちの意思決定を大きく助けてくれるのです。
まとめ：確率論は、不確実な未来を旅するためのコンパス
今回は、不確実な世界と賢く付き合うための「確率論」という言語の、最も基本的な単語を3つ学びました。
- 確率変数：未来の不確実な結果を入れるための「箱」。
- 確率分布：その箱に、各結果がどれくらいの割合で入るかを示した「設計図」。
- 期待値：「設計図」から計算できる、結果の「平均的な見込み」。
これらの概念は、統計学のあらゆる手法の根幹をなす、非常に重要な土台です。そして、確率論の本当の面白さは、ここから始まります。例えば、新しい検査データという情報が手に入ったとき、この「確率」をより精度の高いものに更新していくにはどうすれば良いのか？その答えが、次にお話しする「ベイズの定理」へと繋がっていくのです。不確実な未来という海を旅するためのコンパスとして、ぜひ確率論を使いこなしていきましょう。
参考文献
- Hacking, I. (1975). The Emergence of Probability: A Philosophical Study of Early Ideas about Probability, Induction and Statistical Inference. Cambridge University Press.
- Jaynes, E. T. (2003). Probability Theory: The Logic of Science. Cambridge University Press.
- Ross, S. M. (2014). A First Course in Probability. 9th ed. Pearson.
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