「はい／いいえ」を予測するロジスティック回帰の仕組みを解説します。確率を線形モデルで扱えるように変身させる方法と、その結果の解釈、モデル性能の評価が鍵となります。
「はい(1)/いいえ(0)」の予測に直線（線形回帰）を当てはめると、予測値が0〜1の範囲を逸脱してしまいます。この問題を、予測値を常に0〜1の間に収めるS字カーブ（シグモイド曲線）を使うロジスティック回帰が解決します。
モデルの係数βをexp(β)で変換し、オッズ比(OR)を求めます。ORが1より大きいとリスク因子、1未満だと保護因子と解釈できます。モデル全体の性能は、ROC曲線とAUCで評価し、0.5（無意味）〜1.0（完璧）の指標で判別能力を測ります。
モデルの精度は、イベント数（症例数）や変数の線形性に依存します。また、変数同士が強く相関する多重共線性は結果を不安定にします。最も重要なのは、統計的な「関連」は必ずしも「因果」を意味しないということです。
予測したい未来が「はい／いいえ」のとき、どうする？
臨床現場にあふれる「二択」の問い
臨床の現場にいると、私たちは常に「もし〜だったら？」という問いと向き合っていますよね。目の前の患者さんについて、「この新しい治療法は効くのだろうか、効かないのだろうか？」「3年以内に再発するだろうか、しないだろうか？」といったことを考えます。これらはすべて、「はい／いいえ」「成功／失敗」「陽性／陰性」といった、結果が2つしかない問いです。統計学の世界では、このようなアウトカムを「二値変数（binary variable）」や「二項変数」と呼びます。
これまでの手法の限界：なぜ線形回帰ではダメなのか？
さて、これまでの講座で私たちは、身長から体重を予測するように、ある数値（説明変数）から別の数値（目的変数）を予測する線形回帰分析を学んできました。では、この手法を二値変数の予測に無理やり応用したら、どうなるでしょうか？
例えば、アウトカムを「発症した＝1」「発症しなかった＝0」という数値に置き換えて、あるバイオマーカーの値（X軸）との関係を線形回帰（直線）で分析してみたとします。手元のデータは、下の図のように0か1の高さにしかプロットされません。
図：二値アウトカム（0か1）に線形回帰の直線を無理やり当てはめたイメージ。
この直線を見てみると、おかしな点が2つあります。まず、バイオマーカーの値がとても低い領域では、予測値が0を下回ってマイナスになってしまいます。逆に、非常に高い領域では、予測値が1を突き抜けてしまいます。予測したいのは「発症確率」のはずなのに、マイナスの確率や100%を超える確率なんて、ありえないですよね。これが、線形回帰を二値アウトカムの予測に使えない決定的な理由です。
救世主の登場：ロジスティック回帰分析
このジレンマを、実にエレガントな方法で解決してくれるのが、今回から学ぶ主役「ロジスティック回帰分析 (Logistic Regression Analysis)」です。直線ではなく、美しい「S字カーブ（シグモイド曲線）」を使うことで、予測値を必ず0と1の間に収めてくれる優れものなんです。
この手法は、医療統計学の世界ではまさに「標準装備」と言えるほど広く使われています。このロジスティック回帰をマスターすれば、臨床研究論文の多くを深く読み解けるようになりますし、ご自身の研究で予測モデルを構築する際の強力な武器にもなります。さあ、一緒にその仕組みを探っていきましょう。
ロジスティック回帰の心臓部：「確率」を「オッズ」、そして「ロジット」へ
ロジスティック回帰を理解する上で最も大切なのが、「確率」をそのまま扱わない、というユニークな発想です。前の章で見たように、確率には0（床）と1（天井）という範囲の制約があるため、どこまでも値が変動しうる説明変数と「＝」で結ぶ直線（線形）モデルとは、どうも相性が悪いんですね。この制約を乗り越えるために、統計学の先人たちは確率を2段階で変身させる魔法を考え出しました。そのステップを一緒に見ていきましょう。
ステップ1：「確率」から「オッズ」へ 〜床からの解放〜
最初の変身で登場するのが「オッズ (Odds)」という考え方です。競馬などでおなじみかもしれませんが、統計学での定義をしっかり確認しておきましょう。
確率とオッズ、どう違うの？
「確率」と「オッズ」は密接に関連していますが、表現の仕方が少し異なります。日常的なたとえで感覚をつかんでみましょう。
- 確率 (Probability)：すべての可能性のうち、ある事象が起こる割合のことです。「5人の患者さんのうち1人が副作用を発現する」なら、副作用が起こる確率は \( \dfrac{1}{5} = 0.2 \) です。値の範囲は、ご存知の通り0から1です。
- オッズ (Odds)：ある事象が「起こらない」回数に対する、「起こる」回数の比率です。同じ例で言えば、「副作用が起こらない4人に対して、起こるのが1人」なので、オッズは \( \dfrac{1}{4} = 0.25 \) となります。
この関係を数式で見てみましょう。ある事象が起こる確率を \(p\) とすると、起こらない確率は \(1-p\) ですから、オッズは次のように計算できます。
\[ \text{オッズ} = \dfrac{\text{成功の確率}}{\text{失敗の確率}} = \dfrac{p}{1-p} \]
このオッズのすごいところは、その値の範囲です。確率 \(p\) が0から1に向かって増加するとき、オッズは0から無限大（∞）へとぐんぐん大きくなっていきます。下の図のようなイメージですね。
この変身によって、予測値が0を下回るという「床」の問題は見事に解決しました。しかし、まだ「天井」が無限遠に伸びたままで、マイナス側には広がっていません。線形モデルの土俵に上がるには、まだ片翼飛行の状態なんです。
ステップ2：「オッズ」から「ロジット」へ 〜天井からの解放〜
そこで登場するのが、2段階目の変身であり、ロジスティック回帰の核心とも言える「ロジット変換 (Logit Transformation)」です。やり方は驚くほどシンプルで、オッズを自然対数（ln）で変換するだけです。
\[ \text{ロジット} = \ln(\text{オッズ}) = \ln\left(\dfrac{p}{1-p}\right) \]
なぜ「対数」が魔法の杖になるのか？
ここで対数をとるのが、まさに画期的なアイデアでした。対数関数には、0から無限大に広がる数直線を、マイナス無限大からプラス無限大へと、きれいに対称な世界に変換してくれる性質があるのです。
先ほどのランナーのたとえを続けるなら、0から無限の彼方まで走れるランナー（オッズ）に、「対数」という魔法の靴を履かせるイメージです。すると、このランナーはマイナス無限大からプラス無限大まで、どこまでも自由に走れるスーパーランナー（ロジット）に変身します。
この最終形態である「ロジット」こそが、上下の制約から完全に解放され、マイナス無限大からプラス無限大までの値を自由にとれる、私たちが求めていた数値です。これでようやく、説明変数（年齢や血圧など）と線形関係で結びつける準備が整ったのです！
ゴール：線形モデルの土俵へ
この2段階の変身を経て、私たちはついに以下の美しい関係式を手にすることができます。
\[ \underbrace{\ln\left(\dfrac{p}{1-p}\right)}_{\text{ロジット}} = \underbrace{\beta_0 + \beta_1 X_1 + \beta_2 X_2 + \dots + \beta_k X_k}_{\text{お馴染みの線形式}} \]
- 左辺：私たちが本当に知りたい「確率 \(p\)」を、分析しやすいように変身させた姿（ロジット）。
- 右辺：私たちがよく知る、切片（\(\beta_0\)）と、各説明変数（\(X_k\)）にその影響度を示す係数（\(\beta_k\)）を掛け合わせた、お馴染みの線形式。
つまり、ロジスティック回帰とは、「説明変数が変化すると、確率の『ロジット』が直線的に変化する」と仮定したモデルなのです。このシンプルな形に持ち込むことさえできれば、あとはコンピュータが最適な係数（\(\beta\)）を見つけ出してくれます。そして、この係数こそが、次のテーマである「オッズ比」の解釈につながっていくのです。
最適なモデルを見つける探偵術：「最尤法」の考え方
さて、ロジスティック回帰モデルの形は決まりましたが、どうすれば手元のデータに最もフィットする係数（\(\beta\)）を見つけ出せるのでしょうか？
線形回帰では、モデルの予測直線と実際のデータ点との「距離（誤差）」を計算し、その合計（正確には二乗和）が最小になるように係数を決める「最小二乗法」という直感的な方法が使えました。しかし、アウトカムが0か1しかないロジスティック回帰では、この「距離」をうまく定義できません。そこで、まったく異なるアプローチが必要になります。その名も「最尤法 (さいゆうほう, Maximum Likelihood Estimation; MLE)」です。
「結果」から「原因」を推理する逆転の発想
最尤法は、その名の通り「最も尤（もっと）もらしい」状態を探す、一種の「逆転の発想」に基づいています。これは、ミステリー小説の名探偵の思考プロセスによく似ています。
探偵は、犯行現場に残された「証拠（＝手元にあるデータ）」を見て、こう考えますよね。「もしA氏が犯人だとしたら、この証拠が残る確率はどれくらいだろう？ B氏だとしたら？ C氏なら…？」と。そして、様々な容疑者（＝モデルの候補）の中から、この証拠を最も「ありえそう」に説明できる人物を、最も確からしい犯人として結論づけます。
最尤法もこれと全く同じです。目の前にある「データという結果」を固定し、「どんなモデル（係数\(\beta\)）を仮定したら、このデータが得られる確率が最大になるだろうか？」と推理していくのです。
「尤度」とは何か？〜モデルの”もっともらしさ”〜
この”もっともらしさ”を表す指標が「尤度 (ゆうど, Likelihood)」です。尤度は、あるモデルを仮定したときに、手元のデータセット全体が観察される条件付き確率として計算されます。
少し具体的に考えてみましょう。ある係数（\(\beta\)）を仮定したモデルで、2人の患者を予測したとします。
- 患者A：実際に「発症した」。モデルによる発症予測確率は 0.8 だった。
- 患者B：実際に「発症しなかった」。モデルによる発症予測確率は 0.3 だった。
このとき、このモデルの下で、
- 患者Aが「発症した」という事実が観察される確からしさは「0.8」です。
- 患者Bが「発症しなかった」という事実が観察される確からしさは「1 – 0.3 = 0.7」です。
そして、このデータセット全体（患者AとBの結果）が同時に観察される確からしさ（尤度）は、これらの確率をすべて掛け合わせたものになります。
\[ \text{尤度} L = 0.8 \times (1 – 0.3) = 0.56 \]
最尤法では、この全体の尤度 \(L\) が最大になるような係数（\(\beta\)）の組み合わせを探し出します。実際には、たくさんのデータを掛け合わせると数値が極端に小さくなって扱いにくいため、対数をとった「対数尤度」を最大化するのが一般的です。山の頂上を探すとき、山の高さ（尤度）で探しても、山の高さの対数（対数尤度）で探しても、頂上の場所は変わらない、という理屈ですね。
この複雑な計算はコンピュータが瞬時に実行してくれますが、その裏側では、手元のデータを最もよく説明できる「最もっともらしい」モデルを探し出す、という非常に直感的でパワフルなプロセスが動いているのです。
係数の謎を解く鍵：「オッズ比」で結果を読み解く
最尤法という探偵術のおかげで、私たちの手元にあるデータに最もフィットする係数（\(\beta\)）を見つけ出すことができました。しかし、この\(\beta\)は「ロジット」をどれだけ変化させるか、という値です。このままでは「結局、リスクはどれくらい上がるの？」という臨床的な疑問に直接答えるのは難しいですよね。
そこで、この係数を臨床現場で直感的に理解できる言葉に「翻訳」してあげる必要があります。そのための最も強力な翻訳ツールが、「オッズ比 (Odds Ratio; OR)」です。
なぜ係数βをexp()で変換するのか？
「係数を指数関数（\( \exp(\cdot) \)）で変換するとオッズ比になる」というのは、一見すると天下り的なルールに見えるかもしれません。しかし、これにはロジスティック回帰の数式の構造に基づいた、ちゃんとした理由があります。
思い出してみてください。ロジスティック回帰のモデルは、「ロジット」と説明変数が線形関係にある、というものでしたね。
\[ \ln(\text{オッズ}) = \beta_0 + \beta_1 X_1 + \dots \]
ここで、説明変数 \(X_1\) が1単位増加したとき（例えば、年齢が1歳上がったとき）、ロジットがどれだけ変化するかを見てみましょう。
- \(X_1\) のときのロジット: \( \ln(\text{オッズ}_1) = \beta_0 + \beta_1 X_1 \)
- \(X_1+1\) のときのロジット: \( \ln(\text{オッズ}_2) = \beta_0 + \beta_1 (X_1+1) \)
この2つの差をとると、\( \beta_1 \) だけが残ります。
\[ \ln(\text{オッズ}_2) – \ln(\text{オッズ}_1) = \beta_1 \]
対数の性質（\( \ln(A) – \ln(B) = \ln(A/B) \)）を使うと、この式は次のように変形できます。
\[ \ln\left(\frac{\text{オッズ}_2}{\text{オッズ}_1}\right) = \beta_1 \]
最後に、この式の両辺の対数を外す（指数をとる）と、私たちが求めていた関係式が現れます。
\[ \frac{\text{オッズ}_2}{\text{オッズ}_1} = e^{\beta_1} = \exp(\beta_1) \]
左辺はまさに「オッズの比」、つまりオッズ比（OR）そのものです。このように、係数\(\beta\)は「ロジットの差」であり、それを指数変換することで「オッズの比」という、より解釈しやすい指標に変換できるのです。
オッズ比（OR）の具体的な解釈
オッズ比は、「ある説明変数が1単位増加したとき、アウトカムが起こるオッズが何倍になるか」を示します。歴史的に有名なDoll and Hill (1954)の研究に代表されるように、疫学研究では喫煙と肺がんのようなリスクの関連を評価するために、この種の指標が広く用いられてきました。
オッズ比の解釈は、値が1を基準となります。
- OR > 1: オッズを増加させる要因（リスク因子）。例えばOR=1.5なら、オッズが1.5倍（50%増）になることを意味します。
- OR = 1: オッズに影響を与えない要因（関連なし）。
- OR < 1: オッズを減少させる要因（保護因子）。例えばOR=0.7なら、オッズが0.7倍（30%減）になることを意味します。
その係数、本当に信頼できる？3つの仮説検定
さて、計算されたオッズ比が1.5だったとしても、それが本当に意味のある値なのか、それとも単なる偶然（サンプリングによる誤差）なのかを評価する必要があります。つまり、「係数\(\beta\)が、統計的に見て0と有意に異なっているか（\(\beta=0\)なら\(OR=e^0=1\)なので関連なしとなる）」を検証するわけです。そのために使われるのが、以下の3つの代表的な仮説検定です。これらの理論的背景は、Agresti (2013)などの専門書に詳しく解説されています。
どの検定も「この係数には意味があるのか？」という同じ問いに答えようとしますが、アプローチの仕方が少しずつ異なります。
| 検定の種類 | アプローチの概要 | たとえ話 | 特徴・注意点 |
|---|---|---|---|
| Wald検定 | 個々の係数\(\beta\)が0からどれだけ離れているかを評価する。 | 個々の選手（係数）が、チームの勝利にどれだけ貢献したかを個別に評価する。 | 最も広く使われ、多くの統計ソフトで標準出力される。ただしサンプルサイズが小さいと精度が落ちることがある。 |
| 尤度比検定 | ある変数を含むモデルと含まないモデルの「尤度」を直接比較し、モデル全体の当てはまりが有意に改善したかを評価する。 | ある選手を加えたチーム（フルモデル）が、元のチーム（縮小モデル）より明らかに強いかを、チーム全体の成績で比較する。 | サンプルサイズが小さくても比較的頑健で、信頼性が高いとされることが多い。 |
| スコア検定 | 係数を0と仮定した状態から、少し動かしたときに尤度がどれだけ急上昇するか（傾き）を評価する。 | ある選手をチームに入れる「前」に、その選手が加入すればチームがどれだけ強くなりそうか、ポテンシャル（傾き）を評価する。 | 複雑なモデルを何度もフィットさせる必要がないため、計算負荷が低い。 |
これらの検定結果（特にp値）を確認することは、モデルの係数が統計的に信頼できるかどうかを判断し、結論の妥当性を担保するための重要なステップです。
モデルの実力を測る成績表：「分類」性能の評価
ロジスティック回帰モデルを構築する真の目的は、多くの場合、新しいデータに対してどれだけ正確な「分類 (Classification)」や「判別 (Discrimination)」ができるか、その実力を知ることにあります。モデルが単なる自己満足で終わらないよう、その性能を客観的に評価する方法を学んでいきましょう。
予測の第一歩：分類のための「混同行列」
モデルは患者さん一人ひとりについて、「発症確率」を0から1の間の数値で返してくれます。しかし、臨床判断のためには「発症する／しない」という二択の結論が必要です。そこで、私たちは「カットオフ値 (Cut-off value)」という閾値を設定します。例えば、カットオフ値を0.5と決めたら、「予測確率が0.5以上なら陽性と予測、未満なら陰性と予測」というルールで分類します。
この分類結果が、実際の状態と比べてどれくらい正しかったのかをまとめる成績表が「混同行列 (Confusion Matrix)」です。これは、予測モデル評価のすべての基本となる、非常に重要な表です。
混同行列の読み解き方
混同行列は、モデルの「予測」と「実際」を2×2の表に整理したものです。
| 実際の結果 | ||
|---|---|---|
| 陽性（発症した） | 陰性（発症せず） | |
| モデルの予測：陽性 | 真陽性 (TP) True Positive | 偽陽性 (FP) False Positive |
| モデルの予測：陰性 | 偽陰性 (FN) False Negative | 真陰性 (TN) True Negative |
- 真陽性 (TP): 実際に陽性の人を、正しく「陽性」と予測できた。（例：疾患のある患者を正しく発見）
- 偽陽性 (FP): 実際は陰性の人を、間違って「陽性」と予測してしまった。（例：健康な人に不要な心配をかけた。「空振り」）
- 偽陰性 (FN): 実際は陽性の人を、間違って「陰性」と予測してしまった。（例：疾患のある患者を見逃した。「見逃し」）
- 真陰性 (TN): 実際に陰性の人を、正しく「陰性」と予測できた。（例：健康な人を正しく安心させた）
この4つの数字から、モデルの性能を測る様々な指標が計算されます。
感度と特異度：性能評価の二大巨頭
混同行列から計算される指標の中でも、特に重要なのが「感度」と「特異度」です。
- 感度 (Sensitivity): 実際に陽性の人たちのうち、モデルが正しく「陽性」と予測できた割合。「見逃しの少なさ」を示す指標です。
計算式: \( \text{感度} = \dfrac{TP}{TP + FN} \) - 特異度 (Specificity): 実際に陰性の人たちのうち、モデルが正しく「陰性」と予測できた割合。「空振りの少なさ」を示す指標です。
計算式: \( \text{特異度} = \dfrac{TN}{TN + FP} \)
理想的なのは、感度も特異度も両方高いモデルです。しかし、ここには悩ましい「トレードオフ」の関係が存在します。病気を見逃したくない（感度を上げたい）あまり、カットオフ値を下げすぎると、健康な人まで陽性と判定してしまい（偽陽性が増え）、特異度が下がってしまいます。逆もまた然りです。
ROC曲線とAUC：モデルの総合力を可視化する
「カットオフ値によって感度と特異度か変わるなら、どのカットオフ値で評価すればいいの？」という疑問が湧きますよね。この問いに対する素晴らしい答えが、「ROC曲線 (Receiver Operating Characteristic curve)」です。
ROC曲線は、カットオフ値を0から1まで少しずつ動かしていったときの、すべての感度と特異度の組み合わせをプロットしたものです。縦軸に感度（真陽性率）、横軸に「1 – 特異度（偽陽性率）」をとります。
図: ROC曲線の模式図。縦軸は感度、横軸は1-特異度（偽陽性率）。左上に凸なほど性能が高い。
ROC曲線の見方
- 左上に凸な曲線: 理想的なモデルです。これは、偽陽性率を低く保ったまま、高い感度を達成できていることを意味します。
- 左下から右上に伸びる対角線: 当てずっぽう（コイン投げ）と同じレベルの性能です。モデルに判別力がないことを示します。
そして、このROC曲線の下側の面積を「AUC (Area Under the Curve)」と呼びます。AUCは0から1の値をとり、カットオフ値に依存しない、モデルの総合的な判別性能を示す指標として広く使われています。Cook (2007)の論文でも議論されているように、AUCはリスク予測モデルを評価する上で中心的な役割を果たします。
AUCには、「ランダムに選んだ陽性のケースと陰性のケースがあったとき、モデルが陽性のケースの方に高い予測確率を与える確率」という直感的な解釈もあります。つまり、AUC=0.8なら、80%の確率で正しく順序付けできる、という意味になります。
Hosmerら (2013)のような標準的な教科書では、AUCの値について以下のような解釈が慣例的に示されることがあります。
- AUC = 1.0: 完璧なモデル
- AUC > 0.9: 非常に優れた判別能
- 0.7 ≤ AUC < 0.9: 許容できる、あるいは良好な判別能
- AUC < 0.7: あまり良くない判別能
- AUC = 0.5: 判別能なし（当てずっぽう）
強力なツール、だからこそ知っておきたい限界と注意点
ロジスティック回帰は、臨床的な「はい／いいえ」の疑問に答えるための、非常に強力で柔軟な分析手法です。しかし、どんな優れた道具にも適切な使い方と限界があります。結果を誤って解釈しないために、そしてこのツールを真に使いこなすために、いくつか重要な注意点を確認しておきましょう。
1. 説明変数とロジットの線形性
これは少し専門的ですが、非常に重要な前提条件です。ロジスティック回帰は、「説明変数が1単位増えると、確率を変換したロジットが直線的に変化する」と仮定しています。もし、本当の関係がU字型のような非線形なものであった場合、モデルはうまくデータを表現できず、誤った結論を導く可能性があります。
2. 多重共線性 (Multicollinearity)
これは、モデルに投入した説明変数同士の相関が非常に高い場合に発生する問題です。例えば、患者の「収縮期血圧」と「拡張期血圧」を同時にモデルに入れるようなケースが考えられます。
- 何が問題か？: モデルが、相関の強い変数それぞれの独立した影響を区別できなくなります。その結果、係数（\(\beta\)）の推定値が非常に不安定になったり、本来プラスに出るべき係数がマイナスになったりと、解釈不能な結果が生じることがあります。
3. サンプルサイズ、特にイベント数
モデルの安定性と信頼性を確保するためには、十分なサンプルサイズが必要です。特に重要なのが「イベント数」、つまり結果が「はい」となったケース（例：発症した患者）の数です。
- 何が問題か？: イベント数が少ないのに、多くの説明変数をモデルに投入しようとすると、モデルが手元のデータにだけ過剰に適合してしまう「過学習（Overfitting）」を起こしやすくなります。その結果、新しい患者データに対しては全く役に立たない、見せかけだけの高精度モデルが出来上がってしまうのです。
- 経験則: 確立された基準はありませんが、統計学研究では「説明変数1つあたり、最低でも10〜20のイベント数（Events Per Variable, EPV）」を確保することが一つの目安として提唱されています (Peduzzi et al., 1996)。例えば5つの説明変数を使いたいなら、最低でも50〜100人の発症者データが必要になる、というわけです。
4. 「関連性」と「因果関係」の混同
これは、すべての統計モデルに共通する、最も重要な注意点です。ロジスティック回帰が示してくれるのは、あくまで変数間の数学的な「関連性 (Association)」です。
- 何が問題か？: これを「因果関係 (Causation)」と短絡的に解釈することはできません。「アイスクリームの売上が増えると、溺死者数も増える」という有名な相関関係がありますが、これはアイスが溺死を引き起こしているわけではなく、「暑い日」という第3の交絡因子が両方を引き起こしているだけですよね。同様に、あるバイオマーカーと疾患に強い関連が見られても、それが疾患の原因とは限りません。
- 因果を探るには: 因果関係に迫るためには、ランダム化比較試験（RCT）のような質の高い研究デザインや、因果推論と呼ばれるより高度な統計手法が必要になります。
まとめ：ロジスティック回帰を使いこなすために
今回の講座では、臨床現場のシンプルな「はい／いいえ」という問いから出発し、それを統計的に扱うために確率をオッズ、そしてロジットへと変身させる旅をしました。そして、そのモデルから得られる係数をオッズ比として解釈する方法や、ROC曲線を使ってモデルの分類性能を評価する方法を学びました。
ロジスティック回帰は、そのシンプルさと解釈のしやすさから、医療統計の基本であり、多くの予測モデル研究の出発点となります。その仕組みだけでなく、今回学んだような限界や注意点をしっかりと理解することで、初めてこの強力なツールを批判的に、そして適切に応用できるようになるはずです。この知識は、論文を読む際にも、ご自身の研究を進める上でも、きっとあなたの力になってくれることでしょう。
参考文献
- Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis. 3rd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.
- Cook, N. R. (2007). Use and Misuse of the Receiver Operating Characteristic Curve in Risk Prediction. Circulation, 115(7), pp.928–935.
- Doll, R. and Hill, A. B. (1954). The Mortality of Doctors in Relation to Their Smoking Habits. BMJ, 1(4877), pp.1451–1455.
- Hosmer, D. W., Lemeshow, S., and Sturdivant, R. X. (2013). Applied Logistic Regression. 3rd ed. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.
- Menard, S. (2002). Applied Logistic Regression Analysis. 2nd ed. Thousand Oaks, CA: SAGE Publications.
- Steyerberg, E. W. (2009). Clinical Prediction Models: A Practical Approach to Development, Validation, and Updating. New York: Springer.
- US Surgeon General. (2014). The Health Consequences of Smoking—50 Years of Progress: A Report of the Surgeon General. Atlanta, GA: U.S. Department of Health and Human Services.
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第9条（免責事項）
- 本サイト運営者は、利用者が本サイトを利用したこと、または利用できなかったことによって生じる一切の損害（直接損害、間接損害、付随的損害、特別損害、懲罰的損害、逸失利益、データの消失、プログラムの毀損等を含みますが、これらに限定されません）について、その原因の如何を問わず、一切の法的責任を負わないものとします。
- 本サイトの利用は、学習および研究目的に限定されるものとし、それ以外の目的での利用はご遠慮ください。
- 本サイトの利用に関連して、利用者と第三者との間で紛争が生じた場合、利用者は自らの費用と責任においてこれを解決するものとし、本サイト運営者に一切の迷惑または損害を与えないものとします。
- 本サイト運営者は、いつでも予告なく本サイトの運営を中断、中止、または内容を変更できるものとし、これによって利用者に生じたいかなる損害についても責任を負いません。
第10条（規約の変更）
本サイト運営者は、必要と判断した場合、利用者の承諾を得ることなく、いつでも本規約を変更することができます。変更後の規約は、本サイト上に掲載された時点で効力を生じるものとし、利用者は変更後の規約に拘束されるものとします。
第11条（準拠法および合意管轄）
本規約の解釈にあたっては、日本法を準拠法とします。本サイトの利用および本規約に関連して生じる一切の紛争については、東京地方裁判所を第一審の専属的合意管轄裁判所とします。
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