[Math for Medical AI: M4] 「微分」と「勾配」って何がすごいの？ — AIの学習を駆動するエネルギー源

この記事で学ぶこと	対象読者・前提知識
微分が「瞬間の変化率」を捉えるツールであることを、直感的な例で説明できる。 勾配が、多次元空間における「最も急な坂の方向」を示すベクトルであることを理解する。 AIの学習（パラメータ調整）において、なぜ勾配の「逆方向」へ進むのかを説明できる。	AIの背景にある数学の考え方を、直感的に学びたいと考えている医療従事者、研究者、学生の方。 AIやプログラミングの経験は問いません。 これまでの講座（特に第2回）で学んだ、ベクトルと行列の基本的な概念を理解していると、よりスムーズに読み進められます。

はじめに：AIはどうやって「賢く」なるのか？

これまでの講座で、私たちはAIが扱うデータの「形」（ベクトルや行列）と、データ同士の「関係性」（内積や類似度）について学んできました。いわば、AIという料理人に、新鮮な食材とその特徴を教えた状態です。

しかし、ここからが本番です。優れた料理人が、味見を繰り返しながら調味料を調整し、料理を完成させていくように、AIもまた、自らの「間違い」を認識し、それを修正していくことで「賢く」なります。この、AIが自らを改善していくプロセスこそが「学習」です。

では、AIはどのようにして「進むべき正しい方向」を見つけ出すのでしょうか？闇雲にパラメータを調整していては、いつまで経っても賢くなれません。

このAIの学習の旅路において、進むべき道を照らす強力な「羅針盤」の役割を果たすのが、今回のテーマである微分 (Differentiation) と勾配 (Gradient) なのです。これらは、AIが学習するための、まさに「エネルギー源」と言えるでしょう。

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1. 微分との再会 — 「瞬間の変化率」を捉える虫眼鏡

「微分」と聞くと、難しい数式を思い浮かべるかもしれませんが、その本質は驚くほどシンプルです。それは、「ある一点における、ごくわずかな変化の割合」を捉えることです。グラフの世界で言えば、その点における「接線の傾き」に完全に一致します(1)。

車のスピードメーターを想像してみてください。スピードメーターが示すのは、旅行全体の平均速度ではなく、「今、この瞬間」の速度ですよね。微分は、まさに関数における「瞬間の勢い」を、傾きという一つの数値として正確に捉える、虫眼鏡のような道具なのです。

最もシンプルな二次関数 \(y = x^2\) のグラフで、この「瞬間の傾き」を見てみましょう。

【実行前の準備】
以下のコードで日本語のグラフを表示させるには、あらかじめターミナルやコマンドプロンプトで pip install japanize-matplotlib を実行してライブラリをインストールしてください。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib # matplotlibの日本語表示を簡単にする

# 微分の対象となる関数 y = x^2 を定義
def function_f(x):
    return x**2

# 関数のグラフデータを作成
x_range = np.arange(-1.0, 5.0, 0.1)
y_range = function_f(x_range)

# x=3 における接線を計算 (y=x^2 の導関数は y'=2x なので、x=3での傾きは6)
x_point = 3.0
slope = 2 * x_point
y_point = function_f(x_point)
tangent_line = slope * (x_range - x_point) + y_point

# グラフを描画
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x_range, y_range, label='y = x² (元の関数)')
plt.plot(x_range, tangent_line, 'r--', label=f'x={x_point}での接線 (傾き = {slope:.1f})')
plt.scatter(x_point, y_point, color='red', s=100, zorder=5, label=f'接点 (x={x_point})')
plt.title('関数とその点における接線（瞬間の傾き）')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.grid(True)
plt.legend()
plt.show()

（注：上記コードを実行すると、関数のグラフと、指定した点における接線が描画されます。）

このグラフが示すように、微分は、ある点における関数の「進む方向」と「勢い」を正確に教えてくれます。

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2. 勾配 (Gradient) とは？ — 多次元世界の「コンパス」

しかし、AIの性能（間違いの大きさ）を決めるのは、たった一つの要因ではありません。何百万というパラメータ（変数）が複雑に絡み合って、最終的な結果が決まります。

これは、山の高さが緯度だけで決まるのではなく、「緯度」「経度」「標高」「湿度」といった無数の要素で決まる、超多次元の山を歩くようなものです。このような多次元空間において、「瞬間の傾き」はどのように考えれば良いのでしょうか。

ここで登場するのが勾配 (Gradient) です。勾配とは、「全ての変数（パラメータ）を考慮した上で、関数値が最も大きくなる方向と、その勢いを一本のベクトル（矢印）として示したもの」です。

もう一度、あの「霧深い山で谷底を探す旅」の例えに戻りましょう。

• 勾配: あなたが立っている地点で、360度見渡したときに「最も急な上り坂」を指し示すコンパスの矢印です。矢印の向きが最も険しい上りの方向を、矢印の長さがその坂の急さを示します。
• 学習の方向: 私たちが目指すのは「谷底（間違いが最小の地点）」です。ならば、進むべき方向は明らかですね。勾配が指す方向と真逆の方向へ進めば、最も効率的に山を下ることができるはずです。

この「最も急な下り坂」の方向こそが、負の勾配 (-Gradient) であり、AIが学習の各ステップで進むべき「正しい方向」なのです。

以下の図は、お椀型の関数（損失関数に見立てたもの）の、いくつかの地点における「負の勾配」を赤い矢印で示しています。どの地点から出発しても、矢印が常に関数の最小値である中心点を指しているのが分かります。

# （このコードは、前の講座 0.3.2 で使用したものを再掲・簡略化しています）
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib

def function_2d(x):
    return x[0]**2 + x[1]**2

def numerical_gradient(f, x):
    h = 1e-4 
    grad = np.zeros_like(x)
    for idx in range(x.size):
        tmp_val = x[idx]
        x[idx] = float(tmp_val) + h
        fxh1 = f(x)
        x[idx] = float(tmp_val) - h
        fxh2 = f(x)
        grad[idx] = (fxh1 - fxh2) / (2 * h)
        x[idx] = tmp_val
    return grad

# 関数の等高線プロット
x0, x1 = np.arange(-10, 10.1, 1.0), np.arange(-10, 10.1, 1.0)
X0, X1 = np.meshgrid(x0, x1)
Z = X0**2 + X1**2
plt.figure(figsize=(8, 8))
plt.contour(X0, X1, Z, levels=np.arange(0, 201, 20), colors='gray')

# いくつかの点における負の勾配を描画
points = [np.array([-8.0, 6.0]), np.array([5.0, -5.0]), np.array([-2.0, -8.0]), np.array([7.0, 7.0])]
for p in points:
    grad = numerical_gradient(function_2d, p.copy())
    plt.quiver(p[0], p[1], -grad[0], -grad[1], angles="xy", color="red", scale_units='xy', scale=15)
    plt.plot(p[0], p[1], 'bo')

plt.xlim(-10, 10); plt.ylim(-10, 10); plt.xlabel("パラメータ1"); plt.ylabel("パラメータ2")
plt.title('損失関数の地形と、各地点での「進むべき方向」（負の勾配）')
plt.gca().set_aspect('equal', adjustable='box'); plt.grid(True); plt.show()

（注：上記コードを実行すると、関数の等高線と、各点における勾配の逆方向を示す矢印が描画されます。）

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3. AIの学習と勾配降下法

これまでの話をまとめると、AIの学習プロセスは次のようなステップを繰り返す、非常にシンプルなアルゴリズムとして表現できます。この手法を、その名の通り勾配降下法 (Gradient Descent) と呼びます (2), (3)。

これは、研修医が指導医からのフィードバック（間違いの指摘）を元に、手技（パラメータ）を少しずつ修正していくプロセスにも似ています。一度に大きく修正するのではなく、確実なフィードバック（勾配）に基づいて、少しずつ改善を繰り返すことで、最終的に最適な手技を身につけていくのです。

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理解度チェッククイズ

1. 一次関数のグラフにおいて、「微分」が表すものは何ですか？

1. グラフのy切片
2. グラフの傾き
3. グラフが囲む面積

2. 多変数関数において、勾配ベクトルが指し示す方向はどれですか？

1. 最も急な下り坂の方向
2. 等高線に沿った方向
3. 最も急な上り坂の方向

3. 勾配降下法において、AIモデルのパラメータはどの方向に更新されますか？

1. 勾配の方向
2. 負の勾配の方向
3. 勾配と直交する方向

答え1-b, 2-c, 3-b

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まとめ：学習の原動力としての勾配

• 微分は、関数の「ある一点での瞬間の傾き」を求める操作です。
• 勾配は、この傾きの概念を多次元に拡張したもので、「関数値が最も増加する方向を示すベクトル」です。
• AIは、損失関数の「負の勾配」を道しるべに、パラメータを少しずつ更新していくことで学習します。この手法が勾配降下法です。

私たちは、AIが膨大なパラメータの山を駆け下りるための、最も基本的なコンパスを手に入れました。この勾配という概念が、AIの「学習」と呼ばれるプロセスの、まさに原動力となっているのです。

しかし、まだいくつかの疑問が残ります。「間違い（損失）」とは、具体的にどうやって計算するのでしょうか？そして、勾配を使ってパラメータを更新する際に、何か賢い工夫はないのでしょうか？

次回、第5回「誤差と損失関数 — AIが『間違い』をどう数えるか？」では、学習の目的地である「山の地形」そのもの、すなわち損失関数について詳しく見ていきます。

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参考文献

1. Strang G. Calculus. Wellesley-Cambridge Press; 2017.
2. Goodfellow I, Bengio Y, Courville A. Deep Learning. MIT Press; 2016. Chapter 4 & 5.
3. Ruder S. An overview of gradient descent optimization algorithms. arXiv preprint arXiv:1609.04747. 2016.
4. Deisenroth MP, Faisal AA, Ong CS. Mathematics for Machine Learning. Cambridge, UK: Cambridge University Press; 2020.
5. Nielsen MA. Neural Networks and Deep Learning [Internet]. Determination Press; 2015. Available from: http://neuralnetworksanddeeplearning.com/

For J³, may joy follow you.