[Math for Medical AI: M0.4.1] 確率の基本と確率変数 – 不確実な医療データをAIで扱う第一歩

AI数学講座 0.4.1: 確率の基本と確率変数 – 不確実な医療データをAIで扱う第一歩

【この記事で学ぶこと】

• 確率の基本的な定義（事象、確率空間）を、医療現場の例を用いて説明できるようになる。
• 「確率変数」が、現実世界の出来事と数値を結びつける「橋渡し」として機能する理由を理解する。
• Pythonを用いて簡単な確率シミュレーションを実行し、理論的な確率と実験的な確率の関係性を視覚的に確認できる。

【対象読者・前提知識】

• AIの背景にある数学の考え方を、直感的に学びたいと考えている医療従事者、研究者、学生の方。
• AIやプログラミングの経験は問いませんが、これまでの講座（特に0.2.1: スカラー、ベクトル、行列）で触れた「データを数値として扱う」という考え方に触れていると、よりスムーズに理解できます。

はじめに：なぜAIに「確率」が必要なのか？

これまでの講座で、私たちは線形代数（データの表現）と微分（学習の仕組み）という、AIの強力なツールを見てきました。微分が「損失」という山の傾斜を計算し、AIが「谷底」という正解へ向かう羅針盤になる、という話もしましたね。

しかし、実際の医療現場は、常に「100%黒」か「100%白」かで判断できるほど単純ではありません。「この患者さんが3年以内に再発する可能性は70%」「この検査の陽性的中率は約85%」といったように、私たちは日々不確実性 (Uncertainty) の中で意思決定を行っています。

AIが真に医療現場で役立つパートナーとなるためには、この「不確実性」を数学の言葉で、つまり確率 (Probability) を使って、定量的かつ論理的に扱えるようにならなければなりません。

今回の講座から始まる「確率・統計」のセクションでは、AIがこの不確実な世界をどのように捉え、意思決定を行っているのか、その根幹にある考え方を探求します。今回はその第一歩として、「確率とは何か？」という基本に立ち返り、現実の出来事を数値に変換するための重要な概念「確率変数」について学んでいきましょう。

1. 確率とは何か？ — 「確からしさ」を表現する世界共通の言語

私たちは日常的に「確率50%」のような言葉を使いますが、その数学的な定義を少しだけ確認しておきましょう。これは、今後のAIの挙動を理解する上で非常に重要です。

• 試行 (Trial): コインを投げる、サイコロを振る、患者さんを一人選んで検査を行う、など、結果が偶然によって決まる行為。
• 事象 (Event): 試行の結果として起こり得ること。例えば、「コインの裏が出る」「サイコロの目が1である」「検査が陽性である」など。
• 根元事象 (Elementary Event): これ以上分解できない、最も基本的な事象の集まり。
• 標本空間 (Sample Space): 起こりうる全ての根元事象を集めた集合。例えば、サイコロを1回振る試行の標本空間は \(\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) です。
• 確率 (Probability): ある事象が起こる「確からしさ」を、0から1の間の数値で表現したもの。標本空間の全ての根元事象の確率を足し合わせると、必ず1になります (1, 2)。

例えば、ある疾患を持つ患者100人に対して新薬を投与する臨床試験を考えます。この試行における標本空間は、「薬が奏効した」「奏効しなかった」の2つの事象から成ります。もし80人の患者さんに効果が見られたなら、「薬が奏効する」という事象が起こる確率は、\(P(\text{奏効}) = \frac{80}{100} = 0.8\) と推定されます。これが、AIが確率を扱う上での基本的な考え方です。

2. 確率変数 — 「現実の出来事」と「コンピュータが扱う数値」を結ぶ橋渡し

さて、AI（コンピュータ）は「薬が奏効した」という言葉を直接理解できません。AIが扱えるのは、あくまで数値です。ここで、現実世界の出来事と数値を結びつけるための、非常に重要な「翻訳機」が登場します。それが確率変数 (Random Variable) です。

確率変数とは、試行の結果（事象）に応じて、特定の値（数値）をとる変数のことです。通常、大文字のアルファベット（例: \(X, Y\)）で表されます。

先ほどの臨床試験の例で考えてみましょう。
「薬が奏効したか否か」という結果を、確率変数\(X\)を使って数値に翻訳します。

• 事象「薬が奏効した」 → \(X = 1\) とする
• 事象「奏効しなかった」 → \(X = 0\) とする

このようにルールを決めることで、私たちは「薬が奏効する確率」を、AIが扱える \(P(X=1)\) という数式で表現できるようになります。確率変数は、現実の出来事と数学の世界をつなぐ、不可欠な橋渡し役なのです。

確率変数には、その「とりうる値」の性質によって、大きく2つの種類があります。

• 離散確率変数 (Discrete Random Variable): とびとびの値（整数など）をとる変数。
  例: サイコロの目 (\(X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\))、コインの表裏 (\(X \in \{0, 1\}\))、ある日の外来患者数など。
• 連続確率変数 (Continuous Random Variable): ある範囲内の任意の実数値をとる変数。
  例: 患者さんの身長や体重、血圧、検査値など。

この2つの区別は、次回以降に登場する「確率分布」を理解する上で重要になってきます。

3. Pythonで確率をシミュレートする

言葉だけの説明では、イメージが湧きにくいかもしれませんね。実際にPythonコードを動かして、確率の性質を体感してみましょう。

ここでは、公平な6面のサイコロを何度も振ったとき、それぞれの目が出る確率が、理論値である \(1/6\) (約0.167) に本当に近づいていくのかをシミュレーションで確かめます。

【実行前の準備】
以下のコードで日本語のグラフを表示させるには、あらかじめターミナルやコマンドプロンプトで pip install japanize-matplotlib を実行してライブラリをインストールしてください。

graph TD
    A(開始) --> B["シミュレーション設定
(試行回数: 10,000回)"];
    B --> C["設定回数サイコロを振る
(1〜6の乱数を生成)"];
    C --> D["各目(1〜6)の
出現回数を集計"];
    D --> E["観測された確率を計算
(出現回数 / 試行回数)"];
    E --> F["結果をグラフで可視化
・観測確率を棒グラフで描画
・理論確率(1/6)を点線で描画"];
    F --> G["観測された確率を
数値で出力"];
    G --> H(終了);

# 必要なライブラリをインポートします
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import japanize_matplotlib # matplotlibの日本語表示を簡単にする

# --- シミュレーションの設定 ---
# サイコロを振る回数
num_trials = 10000

# --- シミュレーションの実行 ---
# 1から6までの整数をランダムにN回生成します (N回サイコロを振ることに相当)
rolls = np.random.randint(1, 7, size=num_trials)

# --- 結果の集計 ---
# 各目が出た回数を数えます
# np.uniqueは配列のユニークな要素と、その出現回数を返してくれます
values, counts = np.unique(rolls, return_counts=True)

# 各目が出る確率（観測された確率）を計算します
observed_probabilities = counts / num_trials

# --- 結果の可視化 ---
plt.figure(figsize=(10, 6)) # グラフのサイズを設定
# 棒グラフで各目が出た確率を表示します
plt.bar(values, observed_probabilities, label='観測された確率', color='skyblue')

# 理論上の確率（1/6）を点線で描画します
plt.axhline(y=1/6, color='red', linestyle='--', label='理論上の確率 (1/6 ≈ 0.167)')

# グラフの見た目を整えます
plt.title(f'サイコロを{num_trials}回振ったときの各目の出現確率', fontsize=16)
plt.xlabel('サイコロの目', fontsize=12)
plt.ylabel('確率', fontsize=12)
plt.xticks(values) # x軸の目盛りを1,2,3,4,5,6に設定
plt.ylim(0, 0.25) # y軸の範囲を設定
plt.legend() # 凡例を表示
plt.grid(axis='y', linestyle='--', alpha=0.7) # y軸のグリッド線を表示
plt.show() # グラフを表示

print("--- 観測された確率 ---")
for v, p in zip(values, observed_probabilities):
    print(f"目 {v}: {p:.4f}")

（注：上記コードを実行すると、結果のグラフが表示され、コンソールには以下の実行結果が出力されます。）

▼コンソールへの出力結果

--- 観測された確率 ---
目 1: 0.1683
目 2: 0.1664
目 3: 0.1658
目 4: 0.1687
目 5: 0.1640
目 6: 0.1668

このコードを実行すると、サイコロを振る回数（num_trials）を増やせば増やすほど、観測された確率（青い棒グラフ）が、理論上の確率（赤い点線）に近づいていくことが視覚的に確認できるはずです。これは大数の法則として知られる、確率論の基本原則です (3)。

まとめ

• 確率は、不確実な事象が起こる「確からしさ」を0から1の数値で表現する、世界共通の言語です。
• 確率変数は、現実世界の出来事（例：検査陽性）と数値（例：1）を結びつけ、AIが確率を扱えるようにするための重要な「翻訳機」です。
• AIは、この確率という概念を用いることで、診断の信頼度を示したり、治療法の効果を予測したりと、医療現場の不確実性を伴う問題に取り組むことができます。例えば、画像診断AIは「この画像に悪性腫瘍が存在する確率は95%です」といった形で、その予測に「自信度」を添えて提示します (4, 5)。

確率の基礎を理解することは、AIがどのようにして「たぶん」「おそらく」といった人間の思考に近い判断を下しているのか、その根源を理解することに繋がります。

次回は、この確率の考え方を一歩進め、ある情報が与えられたときに、別の事象の確率がどう変化するのかを学ぶ「0.4.2: 条件付き確率とベイズの定理」について探求します。これは、AIによる診断推論の根幹をなす、非常に重要なテーマです。

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参考文献

1. DeGroot MH, Schervish MJ. Probability and Statistics. 4th ed. Pearson; 2012.
2. Wasserman L. All of Statistics: A Concise Course in Statistical Inference. Springer; 2004.
3. Yates F. The Place of the Principle of Randomization in the History of Experimental Design. In: Experimental Design: Selected Papers of Frank Yates, C.B.E., Sc.D., F.R.S. Charles Griffin & Company Ltd; 1970. p. 13-22.
4. LeCun Y, Bengio Y, Hinton G. Deep learning. Nature. 2015;521(7553):436-444.
5. Rajkomar A, Dean J, Kohane I. Machine Learning in Medicine. N Engl J Med. 2019;380(14):1347-1358.
6. Bishop CM. Pattern Recognition and Machine Learning. New York: Springer; 2006.
7. James G, Witten D, Hastie T, Tibshirani R. An Introduction to Statistical Learning. Springer; 2013.

For J³, may joy follow you.