[Math for Medical AI: M0.1.1] AIの勉強に必要な数学記号
2025
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AIや機械学習を学ぶ上で頻出する数学記号を、分野ごとに整理して簡潔に解説します。
目次
1. 集合・論理・命題論理
記号 読み方 意味・用途 解説例 \(\in\) に属する 要素が集合に属する \(x \in A\)（xは集合Aの要素） \(\notin\) に属さない 要素が集合に含まれない \(\subseteq\) 包含関係 AはBの部分集合 \(A \subseteq B\) \(\cup\) 和集合 AまたはBに属する \(A \cup B\) \(\cap\) 積集合 AかつBに属する \(A \cap B\) \(\setminus\) 差集合 Aに属しBに属さない \(A \setminus B\) \(\forall\) 任意の 全称量化子（すべての） \(\forall x \in \mathbb{R}, x^2 \geq 0\) \(\exists\) 存在する 存在量化子 \(\exists x, f(x) = 0\) \(\Rightarrow\) 含意 「ならば」 \(A \Rightarrow B\) \(\Leftrightarrow\) 同値 両方向の含意 \(A \Leftrightarrow B\) \(\neg\) 否定 論理的否定 \(\neg A\)（Aではない）
2. 実数・複素数・数の集合
記号 意味 用例 \(\mathbb{N}\) 自然数 \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}\) \(\mathbb{Z}\) 整数 \(\mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, \dots\}\) \(\mathbb{Q}\) 有理数 分数で表せる数 \(\mathbb{R}\) 実数 全ての実数 \(\mathbb{C}\) 複素数 実部＋虚部 \((a + bi)\) \(\infty\) 無限大 上限なし・極限で頻出
3. 線形代数（ベクトル・行列・テンソル）
記号 読み方 用途・意味 備考 \(\mathbf{v}\) ベクトル 列ベクトル \(\mathbf{v} \in \mathbb{R}^n\) \(\mathbf{A}\) 行列 行列の記号 \(\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{m \times n}\) \(\mathbf{A}^\top\) 転置 行と列を入れ替える \(\mathbf{A}^{-1}\) 逆行列 逆元が存在すれば \(\mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{I}\) \(\mathbf{I}\) 単位行列 対角に1、それ以外は0 \(\cdot\) ドット積 内積（スカラー） \(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum a_i b_i\) \(\times\) クロス積 外積（3次元） \(\otimes\) テンソル積 高次元演算 \(\| \mathbf{x} \|\) ノルム ベクトルの大きさ \(\text{tr}(\mathbf{A})\) トレース 対角成分の和 \(\det(\mathbf{A})\) 行列式 逆行列の存在判定 \(\text{rank}(\mathbf{A})\) 階数 線形独立な行・列の最大数
4. 微積分・最適化
記号 意味 解説 \(\frac{d}{dx}\) 微分 一変数関数の変化率 \(\frac{\partial}{\partial x}\) 偏微分 多変数関数での変化率 \(\nabla f\) 勾配 最急上昇方向 \(\text{Hess}(f)\) ヘッセ行列 2階偏微分の行列 \(\int f(x)\,dx\) 積分 面積・累積効果 \(\lim_{x \to a}\) 極限 数値がある点に収束する様子 \(\arg\min_x f(x)\) 最小となるx 最適化で使用 \(\Delta x\) 差分 \(x_{t+1} – x_t\) など \(\approx\) 近似 ほぼ等しいことを示す
5. 確率・統計・情報理論
記号 意味 解説 \(P(A)\) 確率 事象Aが起きる確率 \(P(A \mid B)\) 条件付き確率 BのもとでAが起きる確率 \(\mathbb{E}[X]\) 期待値 平均的な値 \(\mathrm{Var}(X)\) 分散 ばらつきの大きさ \(\mathrm{Cov}(X, Y)\) 共分散 2変数の連動性 \(\sigma\) 標準偏差 分散の平方根 \(\mu\) 平均 正規分布などで出現 \(\delta\) 変分 微小な変化（変分法） \(\log\), \(\ln\) 対数関数 情報理論で使用 \(H(X)\) エントロピー 不確実性の指標 \(D_{\mathrm{KL}}(P\|Q)\) KLダイバージェンス 分布の差の指標 \(\mathrm{N}(\mu, \sigma^2)\) 正規分布 平均 \(\mu\), 分散 \(\sigma^2\) のガウス分布
6. 関数・記号・その他
記号 意味 解説 \(f: X \to Y\) 関数の定義 XからYへの写像 \(f(x), f(\cdot)\) 関数適用 引数が明示・未定義の場合 \(\text{ReLU}(x)\) 活性化関数 \(\max(0, x)\) \(\sigma(x)\) シグモイド \(\frac{1}{1+e^{-x}}\) \(\tanh(x)\) 双曲線正接関数 -1〜1に収束 \(\text{softmax}(x)\) 多クラス分類用関数 出力を確率に変換 \(\mathbf{W}, \mathbf{b}\) 重み・バイアス 学習パラメータ \(\theta\) パラメータ全体 モデル全体の重み
免責事項・注意事項等
法令遵守について 医療行為の責任について プライバシー保護について 知的財産権について 情報の正確性について AI 活用の留意点 免責事項 対象読者・前提知識 環境・互換性 免責範囲の明確化
この記事を書いた人/About the Author
AI physician-scientist・連続起業家・元厚生労働省医系技官・医師・医学博士・ハーバード大学理学修士・ケンブリッジ大学MBA・コロンビア大学行政修士。
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